Sunday Jul 21, 2024

数学三考研真题(1989-1999打印版)(数学三考研真题2023)

数学三考研真题(1989-1999打印版)(数学三考研真题2023)缩略图

1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sinyxx在点122,处的切线方程是_ _ . (2) 幂级数01nnxn的收敛域是 _ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0 xxxxxxxxx只有零解 , 则应满足的条件是 _ _ . (4) 设随机变量 x 的分布函数为00sin0212,x,f xax,x,x,则 a =_,6px . (5) 设随机变量x的数学期望()e x, 方差2()d x, 则由切比雪夫 (chebyshev)不等式 , 有3 p x_ _ .

2、二、选择题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设232xxfx,则当0 x时( ) (a) fx与x是等价无穷小量 (b) fx与x是同阶但非等价无穷小量(c) fx是比x较高阶的无穷小量 (d) fx是比x较低阶的无穷小量(2) 在下列等式中 , 正确的结果是( ) (a) fx dxfx (b) dfxfx(c) dfx dxfxdx (d) dfx dxfx(3) 设 a 为n阶方阵且0a, 则( ) (a) a 中必有两行 ( 列) 的元素对应成比例(b) a 中任意一行 ( 列

3、) 向量是其余各行 ( 列) 向量的线性组合(c) a 中必有一行 ( 列) 向量是其余各行 ( 列) 向量的线性组合(d) a 中至少有一行 (列) 的元素全为 0 (4) 设 a 和 b 均为n n矩阵, 则必有( ) (a) abab (b)abba(c) abba (d) 111abab(5) 以 a 表示事件“甲种产品畅销, 乙种产品滞销” , 则其对立事件a为( ) (a) “甲种产品滞销 , 乙种产品畅销” (b) “甲、乙两种产品均畅销”(c) “甲种产品滞销” (d) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题 ( 本题满分 15 分, 每小题 5 分) (1) 求极限11li

4、m sincosxx.xx(2) 已知( , ),zf u v uxy vxy且( , )f u v的二阶偏导数都连续. 求2zx y. (3) 求微分方程562xyyye的通解 . 四、 (本题满分 9 分) 设某厂家打算生产一批商品投放市场. 已知该商品的需求函数为2( )10 xpp xe, 且最大需求量为6, 其中x表示需求量 , p 表示价格 . (1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2 分) (2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4 分) (3) 画出收益函数的图形.(3 分) 五、 (本题满分 9 分) 已知函数,01,( )2,12.xxf xxx试计算下

5、列各题:(1) 200( );xsf x e dx(4 分) (2) 412(2);xsf xe dx(2 分) (3) 222(2 )(2,3,);nxnnsf xn e dx n(1 分) (4) 0nnss.(2 分) 六、 (本题满分 6 分) 假设函数( )f x在 , a b上连续 , 在( , )a b内可导 , 且( )0fx, 记1( )( ),xaf xf t dtxa证明在( , )a b内,( )0fx. 七、 (本题满分 5 分) 已知xaxb,其中010111101a,112053b,求矩阵 x . 八、 (本题满分 6 分) 设123(1 ,1,1),(1,2,3

6、),(1 ,3, ) t. (1) 问当t为何值时 , 向量组123,线性无关 ?(3 分) (2) 问当t为何值时 , 向量组123,线性相关 ?(1 分) (3) 当向量组123,线性相关时 , 将3表示为1和2的线性组合 .(2 分) 九、 (本题满分 5 分) 设122212221a.(1) 试求矩阵 a 的特征值; (2 分) (2) 利用(1) 小题的结果 , 求矩阵1ea的特征值 , 其中 e 是三阶单位矩阵 .(3 分) 十 、( 本题满分 7 分) 已知随机变量x 和 y 的联合密度为(),( , )0,xyexyf x y 00其它.试求: (1) p xy;(5 分) (

7、2) ()e xy.(2 分) 十一、 (本题满分8 分) 设随机变量x在2,5上服从均匀分布, 现在对x进行三次独立观测, 试求至少有两次观测值大于3 的概率 . 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(3)nnnnn_. (2) 设函数( )f x有连续的导函数,(0)0,(0)ffb, 若函数( )sin,0,( ),0f xaxxf xxax在0 x处连续 , 则常数 a =_. (3) 曲线2yx与直线2yx所围成的平面图形的面积为_. (4) 若线性方程组121232343

8、414,xxaxxaxxaxxa有解, 则常数1234,aa aa应满足条件 _. (5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率为8081, 则该射手的命中率为 _. 二、选择题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin( )tanxf xxx e, 则( )f x是( )(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数(2) 设函数( )f x对任意x均满足等式(1)( )fxaf x, 且有(0),fb其中,a b为非零常数, 则()

9、(a) ( )f x在1x处不可导 (b) ( )fx在1x处可导 , 且(1)fa(c) ( )f x在1x处可导 , 且(1)fb (d) ( )f x在1x处可导 , 且(1)fab(3) 向量组12,s线性无关的充分条件是( ) (a) 12,s均不为零向量(b) 12,s中任意两个向量的分量不成比例(c) 12,s中任意一个向量均不能由其余1s个向量线性表示(d) 12,s中有一部分向量线性无关(4) 设,a b为两随机事件 , 且 ba , 则下列式子正确的是( ) (a) p abp a (b) p abp a(c) p b ap b (d) ( )p bap bp a(5) 设

10、随机变量 x 和 y 相互独立 , 其概率分布为m-1 1 p xm1212则下列式子正确的是( ) (a) xy (b) 0p xy(c) 12p xy (d) 1p xy三、计算题 ( 本题满分 20 分, 每小题 5 分.) m-1 1 p ym1212(1) 求函数2ln( )21xeti xdttt在区间2 ,e e上的最大值 . (2) 计算二重积分2ydxedxdy, 其中 d 是曲线24yx和29yx在第一象限所围成的区域 . (3) 求级数21(3)nnxn的收敛域 . (4) 求微分方程sincos(ln )xyyxx e的通解 . 四、 (本题满分 9 分) 某公司可通过

11、电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告, 根据统计资料 , 销售收入 r (万元 ) 与电台广告费用1x( 万元) 及报纸广告费用2x(万元 )之间的关系有如下经验公式 : 221212121514328210.rxxx xxx(1) 在广告费用不限的情况下, 求最优广告策略;(2) 若提供的广告费用为1.5 万元 , 求相应的最优广告策略. 五、 (本题满分 6 分) 设( )fx在闭区间0, c上连续 , 其导数( )fx在开区间(0, )c内存在且单调减少;(0)0f, 试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()( )( )f abf af b, 其中常数ab、满足条件0ababc. 六、

12、(本题满分 8 分) 已知线性方程组1234512345234512345,3230,226,54332,xxxxxaxxxxxxxxxbxxxxx(1) ab、为何值时 , 方程组有解 ? (2) 方程组有解时 , 求出方程组的导出组的一个基础解系;(3) 方程组有解时 , 求出方程组的全部解. 七、 (本题满分 5 分) 已知对于n阶方阵 a , 存在自然数k, 使得0ka, 试证明矩阵 ea 可逆, 并写出其逆矩阵的表达式( e 为n阶单位阵 ). 八、 (本题满分 6 分) 设 a 是n阶矩阵 ,1和2是 a 的两个不同的特征值,12,xx是分别属于1和2的特征向量 . 试证明12xx

13、不是 a 的特征向量 . 九、 (本题满分 4 分) 从0,1,2,9十个数字中任意选出三个不同数字, 试求下列事件的概率:1a 三个数字中不含0 和 5;2a 三个数字中不含0 或 5. 十、 (本题满分 5 分) 一电子仪器由两个部件构成, 以 x 和 y 分别表示两个部件的寿命( 单位: 千小时 ),已知x和 y 的联合分布函数为: 0.50.50.5(),0,0,( , )0,xyxyeeexyf x y1-若其他.(1)问 x 和y 是否独立 ? (2)求两个部件的寿命都超过100 小时的概率. 十一、 (本题满分7 分) 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩 ( 百分制 ) 近似

14、服从正态分布, 平均成绩为 72 分,96 分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60 分至 84 分之间的概率 . 附表 x0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ( )x0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中( )x是标准正态分布函数. 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 把答案填在题中横线上.) (1) 设sin,xyze则dz _. (2) 设曲线3fxxax与2g xbxc都通过点1 0,且在点1 0,有公共切线, 则a _,b _,c _.

15、(3) 设xfxxe, 则nfx在点x _处取极小值 _. (4) 设a和b为可逆矩阵 ,00axb为分块矩阵 , 则1x _. (5) 设随机变量 x 的分布函数为0,1,0.4,11,( )0.8,13,1,3.xxf xp xxxx则 x 的概率分布为 _. 二、选择题 ( 本题满分 15 分, 每小题 3 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 下列各式中正确的是( ) (a) 01lim11xxx (b) 01lim1xxex(c) 1lim 1xxex (d) 1lim 1xxex(2) 设10(1,2,)nann则下

16、列级数中肯定收敛的是( ) (a) 1nna (b) 1( 1)nnna(c) 1nna (d) 21( 1)nnna(3) 设 a 为n阶可逆矩阵 ,是 a 的一个特征根 , 则 a 的伴随矩阵*a的特征根之一是( ) (a) 1na (b) 1a (c) a (d) na(4) 设 a 和 b 是任意两个概率不为零的不相容事件, 则下列结论中肯定正确的是( ) (a) a与b不相容 (b) a与b相容(c) p abp a p b (d) p abp a(5) 对于任意两个随机变量x 和 y , 若()()( )e xye xe y, 则( ) (a) ()()( )d xyd xd y

17、(b) ()()( )d xyd xd y(c) x 和y 独立 (d) x 和 y 不独立三、 (本题满分 5 分)求极限120limxxnxxxeeen, 其中n是给定的自然数. 四、 (本题满分 5 分)计算二重积分diydxdy, 其中 d 是由x轴, y 轴与曲线1xyab所围成的区域,0,0ab. 五、 (本题满分 5 分)求微分方程22dyxyxydx满足条件2xeye的特解 . 六、 (本题满分 6 分)假设曲线1l:2101yxx、x轴和 y 轴所围区域被曲线2l:2yax分为面积相等的两部分, 其中a是大于零的常数, 试确定a的值. 七、 (本题满分 8 分)某厂家生产的一

18、种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p和2p;销售量分别为1q和2q;需求函数分别为11240 2q. p和22100 05q.p, 总成本函数为123540cqq.试问:厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大?最大利润为多少?八、 (本题满分 6 分)试证明函数1( )(1)xf xx在区间(0,)内单调增加 . 九、 (本题满分 7 分)设有三维列向量12321110111111,问取何值时 , (1) 可由123,线性表示 , 且表达式唯一 ? (2) 可由123,线性表示 , 且表达式不唯一? (3) 不能由123,线性表示 ? 十、 (本题满分 6 分)考虑二次型2

19、2212312132344224fxxxx xx xx x. 问取何值时 ,f为正定二次型 . 十一、 (本题满分6 分)试证明n维列向量组12,n线性无关的充分必要条件是1112121222120tttntttntttnnnnd, 其中ti表示列向量i的转置 ,1,2,in. 十二、 (本题满分5 分)一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以 x 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数. 求 x 的概率分布 . 十三、 (本题满分6 分)假设随机变量x 和 y 在圆域222xyr上服从

20、联合均匀分布. (1) 求x和 y 的相关系数;(2) 问x和 y 是否独立 ? 十四、 (本题满分5 分)设总体 x 的概率密度为1,0,( ;)0,0,aaxaxexp xx其中0是未知参数 ,0a是已知常数 . 试根据来自总体x 的简单随机样本12,nxxx, 求的最大似然估计量?. 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分, 把答案填在题中横线上.) (1) 设商品的需求函数为1005qp, 其中,q p分别表示为需求量和价格, 如果商品需求弹性的绝对值大于1, 则商品价格的取值范围是_. (2) 级数21(2

21、)4nnnxn的收敛域为 _. (3) 交换积分次序2120( , )yydyf x y dx_. (4) 设 a 为m阶方阵 , b 为n阶方阵 , 且0,0aaa bb cb, 则c_. (5) 将, ,c c e e i n s等七个字母随机地排成一行, 那么 , 恰好排成英文单词science的概率为 _. 二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设2( )( )xaxf xf t dtxa, 其中( )f x为连续函数 , 则lim( )xaf x等于

22、( ) (a) 2a (b) 2( )a f a(c) 0 (d) 不存在(2) 当0 x时, 下面四个无穷小量中, 哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( ) (a) 2x (b) 1cosx(c) 211x (d) tanxx(3) 设 a 为m n矩阵 , 齐次线性方程组0ax仅有零解的充分条件是( ) (a) a 的列向量线性无关 (b) a 的列向量线性相关(c) a 的行向量线性无关 (d) a 的行向量线性相关(4) 设当事件 a 与 b 同时发生时 , 事件c必发生 , 则( ) (a) ()( )()1p cp ap b (b) ()()( )1p cp ap b(c) (

23、)()p cp ab (d) ()()p cp ab(5) 设n个随机变量12,nxxx独立同分布 ,2111(),niid xxxn2211()1niisxxn, 则( ) (a) s是的无偏估计量 (b) s是的最大似然估计量(c) s是的相合估计量 ( 即一致估计量 ) (d) s与x相互独立三、 (本题满分 5 分)设函数ln cos(1),1,1sin( )21,1.xxxf xx问函数( )f x在1x处是否连续 ?若不连续 ,修改函数在1x处的定义使之连续. 四、 (本题满分 5 分)计算arccot.xxeidxe五、 (本题满分 5 分)设sin()( ,)xzxyxy, 求

24、2zx y, 其中( , )u v有二阶偏导数 . 六、 (本题满分 5 分) 求连续函数( )f x, 使它满足20( )2( )xf xf t dtx. 七、 (本题满分 6 分) 求证 : 当1x时,212arctanarccos214xxx. 八、 (本题满分 9 分) 设曲线方程(0)xyex. (1) 把曲线xye,x轴, y 轴和直线(0)x所围成平面图形绕x轴旋转一周 ,得一旋转体 , 求此旋转体体积( )v; 求满足1( )lim( )2v av的a. (2) 在此曲线上找一点, 使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积 . 九、 (本题满分 7 分)设

25、矩阵 a 与 b 相似 , 其中20010022 ,02031100axby. (1) 求x和 y 的值. (2) 求可逆矩阵 p , 使得1papb. 十、 (本题满分 6 分)已知三阶矩阵0b, 且 b 的每一个列向量都是以下方程组的解: 123123123220,20,30.xxxxxxxxx(1) 求的值; (2) 证明0b. 十一、 (本题满分6 分) 设ab、分别为mn、阶正定矩阵 , 试判定分块矩阵00acb是否是正定矩阵 . 十二、 (本题满分7 分) 假设测量的随机误差2(0,10 )xn, 试求 100 次独立重复测量中, 至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率,

26、并利用泊松分布求出的近似值 ( 要求小数点后取两位有效数字 ). 附表 1 2 3 4 5 6 7 e0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十三、 (本题满分5 分) 一台设备由三大部分构成, 在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和 0.30. 假设各部件的状态相互独立, 以x表示同时需要调整的部件数, 试求x的数学期望 ex 和方差 dx . 十四、 (本题满分4 分) 设二维随机变量(,)x y的概率密度为,0,( , )0,yexyf x y其他 ,(1) 求随机变量x 的密度( )xfx; (2) 求概率1p xy. 1

27、993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分, 把答案填在题中横线上.) (1) 2352limsin53xxxx . (2) 已知232,arctan,32xyffxxx则0 xdydx . (3) 级数0(ln 3)2nnn的和为 . (4) 设 4 阶方阵 a 的秩为 2 , 则其伴随矩阵*a的秩为 . (5) 设总体 x 的方差为 1, 根据来自 x 的容量为 100 的简单随机样本 , 测得样本均值为5, 则x的数学期望的置信度近似等于0.95 的置信区间为 . 二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分,

28、 满分 15 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设fx21sin,0,0,0,xxxx则fx在点0 x处( ) (a) 极限不存在 (b) 极限存在但不连续(c) 连续但不可导 (d) 可导(2) 设fx为连续函数 , 且ln1,xxf xft dt则fx等于( ) (a) 2111lnfxfxxx (b) 11lnfxfxx(c) 2111lnfxfxxx (d) 1lnfxfx(3) n阶方阵 a 具有n个不同的特征值是a 与对角阵相似的( ) (a) 充分必要条件 (b) 充分而非必要条件(c) 必要而非充分条件

29、(d) 既非充分也非必要条件(4) 假设事件 a 和 b 满足()1p b a, 则( ) (a) a 是必然事件 (b) ()0p b a. (c) ab (d) ab(5) 设随机变量x的密度函数为( )x, 且()( )xx.( )f x是x的分布函数 , 则对任意实数a, 有( ) (a) 0()1( )afax dx. (b) 01()( )2afax dx(c) ()( )faf a (d) ()2( )1faf a三、 (本题满分 5 分)设zfx,y是由方程0zyxzyxxe所确定的二元函数, 求dz. 四、 (本题满分 7 分)已知22lim4xxaxxax edxxa, 求

30、常数a的值 . 五、 (本题满分 9 分)设某产品的成本函数为2,caqbqc需求函数为1(),qdpe其中c为成本 ,q为需求量 ( 即产量 ),p 为单价 , , ,a b c d e都是正的常数 , 且db, 求: (1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性; (3) 需求对价格弹性的绝对值为1 时的产量 . 六、 (本题满分 8 分)假设 :(1) 函数( )(0)yf xx满足条件(0)0f和0( )1xf xe; (2) 平行于 y 轴的动直线mn与曲线( )yf x和1xye分别相交于点1p和2p; (3) 曲线( )yf x, 直线mn与x轴所围封闭图形的面

31、积s恒等于线段12pp的长度 . 求函数( )yf x的表达式 . 七、 (本题满分 6 分)假设函数( )f x在0,1上连续 , 在(0,1)内二阶可导 , 过点(0,(0)af与(1, (1)bf的直线与曲线( )yf x相交于点( ,( )c c f c, 其中01c. 证明 : 在(0,1)内至少存在一点, 使( )0f. 八、 (本题满分 10 分)k为何值时 , 线性方程组12321231234,24xxkxxkxxkxxx有惟一解 , 无解, 有无穷多组解 ?在有解情况下 , 求出其全部解 . 九、 (本题满分 9 分)设二次型22212312231 3222fxxxx xx

32、xx x经正交变换xpy 化成22232fyy, 其中123(,)txx xx和123(,)tyy yy是三维列向量 ,p 是 3 阶正交矩阵 . 试求常数,. 十、 (本题满分 8 分)设随机变量x和 y 同分布 , x的概率密度为23,02,( )80,.xxf x其他(1) 已知事件axa和bya独立 , 且34p ab.求常数a.(2) 求21x的数学期望 . 十一、 (本题满分8 分)假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数n t服从参数为t的泊松分布 . (1) 求相继两次故障之间时间间隔t 的概率分布;(2) 求在设备已经无故障工作8 小时的情形下 , 再无故障运行8 小

33、时的概率q. 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上.) (1) 2222xxdxx_.(2) 已知(
数学三考研真题(1989-1999打印版)(数学三考研真题2023)插图
)1fx, 则000lim(2 )()xxf xxf xx_. (3) 设方程2cosxyeyx确定 y 为x的函数 , 则dydx_. (4) 设121000000,000000nnaaaaallmmmmll其中0,1,2, ,iainl则1a_. (5) 设随机变量 x 的概率密度为2 ,01,( )0,xxf x其他,以 y 表示对x的三次独立重复观察中事件12x出现的次数 , 则2p

34、 y_. 二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线有( ) (a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条(2) 设常数0, 而级数21nna收敛, 则级数21( 1)nnnan( ) (a) 发散 (b) 条件收敛 (c) 绝对收敛 (d) 收敛性与有关(3) 设 a 是m n矩阵 ,c是n阶可逆矩阵 , 矩阵 a 的秩为r, 矩阵bac的秩为1r, 则( ) (a) 1rr (b) 1rr(c)

35、1rr (d) r与1r的关系由c而定(4) 设0()1,0( )1, ()()1p ap bp a bp a b, 则( ) (a) 事件 a 和 b 互不相容 (b) 事件 a 和 b 相互对立(c) 事件 a 和 b 互不独立 (d) 事件 a 和 b 相互独立(5) 设12,nxxxl是来自正态总体2( ,)n的简单随机样本,x是样本均值 , 记222212112222341111() ,() ,111() ,() ,1nniiiinniiiisxxsxxnnsxsxnn则服从自由度为1n的t分布的随机变量是( ) (a) 11xtsn (b) 21xtsn(c) 3xtsn (d)

36、4xtsn三、 (本题满分 6 分) 计算二重积分(),dxy dxdy其中22( ,)1dx yxyxy. 四、 (本题满分 5 分) 设函数( )yy x满足条件440,(0)2,(0)4,yyyyy求广义积分0( )y x dx. 五、 (本题满分 5 分) 已知22( , )arctanarctanyxf x yxyxy, 求2fx y. 六、 (本题满分 5 分) 设函数( )f x可导 , 且10(0)0,( )()xnnnff xtf xtdt, 求20( )limnxf xx. 七、 (本题满分 8 分) 已知曲线(0)ya x a与曲线lnyx在点00(,)xy处有公共切线

37、, 求: (1) 常数a及切点00(,)xy;(2) 两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积xv. 八、 (本题满分 6 分) 假设( )f x在 ,)a上连续 ,( )fx在, a内存在且大于零 , 记( )( )( )()f xf af xxaxa, 证明( )f x在, a内单调增加 . 九、 (本题满分 11 分) 设线性方程组23112131231222322313233323142434,.xa xa xaxa xa xaxa xa xaxa xa xa(1) 证明 : 若1234,a a a a两两不相等 , 则此线性方程组无解;(2) 设1324,(0)aak a

38、ak k, 且已知12,是该方程组的两个解, 其中12111,1,11写出此方程组的通解. 十、 (本题满分 8 分) 设0011100axy有三个线性无关的特征向量, 求x和 y 应满足的条件 . 十一、 (本题满分8 分) 假设随机变量1234,xxxx相互独立 , 且同分布00.6,10.4(1,2,3,4)iip xp xi, 求行列式1234xxxxx的概率分布 . 十二、 (本题满分8 分) 假设由自动线加工的某种零件的内径x ( 毫米) 服从正态分布( ,1)n, 内径小于10 或大于 12 的为不合格品 , 其余为合格品 , 销售每件合格品获利, 销售每件不合格品亏损. 已知销

39、售利润 t ( 单位 : 元) 与销售零件的内径x 有如下关系 : 1,10,20,1012,5,12.xtxx问平均内径取何值时 , 销售一个零件的平均利润最大? 1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上.) (1) 设1( )1xfxx, 则( )( )nfx . (2) 设()yzxyfx,( )f u可导, 则xyxzyz . (3) 设(ln)1fxx, 则( )f x . (4) 设100220345a,a是 a 的伴随矩阵 , 则1()a . (5) 设12,nxxx是来自正态总体

40、2( ,)n的简单随机样本, 其中参数和2未知 ,记22111,() ,nniiiixxqxxn则假设0:0h的t检验使用统计量t_. 二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设( )fx为可导函数 , 且满足条件0(1)(1)lim12xffxx, 则曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线斜率为( ) (a) 2 (b) 1 (c) 12 (d) 2(2) 下列广义积分发散的是( ) (a) 111sindxx (b) 12111dxx (c) 20 xe

41、dx (d) 221lndxxx(3) 设矩阵m na的秩为()r amn,me为m阶单位矩阵 , 下述结论中正确的是( ) (a) a 的任意m个行向量必线性无关(b) a 的任意一个m阶子式不等于零(c) 若矩阵 b 满足0ba, 则0b(d) a 通过初等行变换, 必可以化为(,0)me的形式(4) 设随机变量x和 y 独立同分布 , 记,uxy vxy, 则随机变量u与v必然( ) (a) 不独立 (b) 独立 (c) 相关系数不为零 (d) 相关系数为零(5) 设随即变量 x 服从正态分布2( ,)n, 则随的增大 , 概率px( ) (a) 单调增大 (b) 单调减少 (c) 保持

42、不变 (d) 增减不定三、 (本题满分 6 分) 设2202(1cos ),0( )1,01cos,0 xxxxfxxt dtxx, 试讨论( )fx在0 x处的连续性和可导性. 四、 (本题满分 6 分) 已知连续函数( )f x满足条件320( )3xxtf xfdte, 求( )f x. 五、 (本题满分 6 分) 将函数2ln(12)yxx展成x的幂级数 , 并指出其收敛区间. 六、 (本题满分 5 分) 计算22()min , xyx y edxdy. 七、 (本题满分 6 分) 设某产品的需求函数为( )qq p, 收益函数为rpq, 其中 p 为产品价格 ,q为需求量 (产品的产

43、量 ),()q p为单调减函数 . 如果当价格为0p, 对应产量为0q时, 边际收益00q qdradq, 收益对价格的边际效应00ppdrcdp, 需求对价格的弹性1peb.求0p和0q. 八、 (本题满分 6 分) 设( )fx、( )g x在区间, a a(0a)上连续 ,( )g x为偶函数 , 且( )f x满足条件( )()f xfxa( a 为常数 ). (1) 证明0( ) ( )( )aaaf x g x dxag x dx;(2) 利用 (1) 的结论计算定积分22sinarctanxxe dx. 九、 (本题满分 9 分) 已知向量组 ()123,;( )1234,;()

44、1235, 如果各向量组的秩分别为(i)(ii)3rr,(iii)4r. 证明 : 向量组12354,的秩为 4. 十、 (本题满分 10 分) 已知二次型2212323121323(,)43448f x x xxxx xx xx x. (1) 写出二次型f的矩阵表达式;(2) 用正交变换把二次型f化为标准形 , 并写出相应的正交矩阵. 十一、 (本题满分8 分) 假设一厂家生产的每台仪器, 以概率 0.70 可以直接出厂;以概率0.30 需进一步调试, 经调试后以概率0.80 可以出厂;以概率0.20 定为不合格品不能出厂. 现该厂新生产了(2)n n台仪器 ( 假设各台仪器的生产过程相互独

45、立). 求: (1) 全部能出厂的概率;(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率; (3) 其中至少有两台不能出厂的概率. 十二、 (本题满分8 分) 已知随机变量x 和 y 的联合概率密度为4,01,01,( , )0,xyxyf x y其他 ,求x和y 联合分布函数( , )f x y. 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上.) (1) 设方程yxy确定 y 是x的函数 , 则dy_. (2) 设( )arcsinx f x dxxc, 则1( )dxf x_. (3) 设00,xy是抛物线

46、2yaxbxc上的一点 , 若在该点的切线过原点, 则系数应满足的关系是 _. (4) 设123222212311111231111nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa,123nxxxxx,1111b, 其中(; ,1,2, )ijaa ij i jn. 则线性方程组ta xb的解是 _. (5) 设由来自正态总体2( ,0.9 )xn容量为 9 的简单随机样本 , 得样本均值5x,则未知参数的置信度为0.95 的置信区间为 _. 二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.)

47、(1) 累次积分cos200( cos , sin)df rrrdr可以写成( ) (a) 2100( , )yydyf x y dx(b) 21100( , )ydyf x y dx(c) 1100( , )dxf x y dy(d) 2100( , )xxdxf x y dy(2) 下述各选项正确的是( ) (a) 若21nnu和21nnv都收敛 , 则21()nnnuv收敛(b) 1nnnu v收敛 , 则21nnu与21nnv都收敛(c) 若正项级数1nnu发散, 则1nun(d) 若级数1nnu收敛 , 且(1,2,)nnuvn, 则级数1nnv也收敛(3) 设n阶矩阵 a 非奇异

48、(2n),a是矩阵 a 的伴随矩阵 , 则( ) (a) 1()naaa (b) 1()naaa(c) 2()naaa (d) 2()naaa(4) 设有任意两个n维向量组1,m和1,m, 若存在两组不全为零的数1,m和1,mkk, 使111111()()()()0mmmmmmkkkk, 则( ) (a) 1,m和1,m都线性相关(b) 1,m和1,m都线性无关(c) 1111,mmmm线性无关(d) 1111,mmmm线性相关(5) 已知0( )1p b且1212()()paabp a bp a b, 则下列选项成立的是( ) (a) 1212()()paabp a bp a b(b) 12

49、12()()p aba bp a bp a b(c) 1212()()p aap a bp a b(d) 1122()() ()p bp a p b ap a p b a三、 (本题满分 6 分) 设( ),0,( )0,0,xg xexf xxx其中( )g x有二阶连续导数 , 且(0)1,(0)1gg. (1) 求( )fx;(2) 讨论( )fx在(,)上的连续性 . 四、 (本题满分 6 分) 设函数( )zf u, 方程( )( )xyuup t dt确定u是, x y 的函数 , 其中( ),( )f uu可微;( )p t,( )u连续, 且( )1u. 求( )( )zzp

50、yp xxy. 五、 (本题满分 6 分) 计算20(1)xxxedxe. 六、 (本题满分 5 分) 设( )fx在区间0,1上可微 , 且满足条件120(1)2( )fxf x dx. 试证 : 存在(0,1)使( )( )0.ff七、 (本题满分 6 分) 设某种商品的单价为p 时, 售出的商品数量q可以表示成aqcpb, 其中ab、 、c均为正数 , 且abc. (1) 求 p 在何范围变化时 , 使相应销售额增加或减少. (2) 要使销售额最大 , 商品单价 p 应取何值 ?最大销售额是多少? 八、 (本题满分 6 分) 求微分方程22yxydydxx的通解 . 九、 (本题满分 8

51、 分) 设矩阵010010000010012ay. (1) 已知 a 的一个特征值为3, 试求 y ;(2) 求矩阵 p , 使() ()tapap为对角矩阵 . 十、 (本题满分 8 分) 设向量12,t是齐次线性方程组0ax的一个基础解系 , 向量不是方程组0ax的解, 即0a. 试证明 : 向量组12,t线性无关 . 十一、 (本题满分7 分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作, 若一周 5 个工作日里无故障, 可获利润 10 万元;发生一次故障仍可获得利润5 万元;发生两次故障所获利润0 元;发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元. 求一周内期望

52、利润是多少 ? 十二、 (本题满分6 分) 考虑一元二次方程20 xbxc, 其中bc、分别是将一枚色子(骰子 )接连掷两次先后出现的点数. 求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q . 十三、 (本题满分6 分) 假设12,nxxx是来自总体 x 的简单随机样本;已知(1,2,3,4)kkexa k. 证明:当n充分大时 , 随机变量211nniizxn近似服从正态分布, 并指出其分布参数. 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 分, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案在题中横线上.) (1) 设( )(ln )fxyfx e, 其中f可微, 则

53、dy_. (2) 若12201( )1( )1fxxf x dxx, 则10( )f x dx_. (3) 差分方程12tttyyt的通解为 _. (4) 若二次型2221231231223(,)22f x x xxxxx xtx x是正定的 , 则t的取值范围是_. (5) 设随机变量 x 和 y 相互独立且都服从正态分布2(0,3 )n, 而19,xx和19,yy分别是来自总体xy和的简单随机样本 , 则统计量192219xxuyy服从_分布 (2 分), 参数为 _. 二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求

54、, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设561 cos20( )sin,( )56xxxfxt dt g x, 则当0 x时,( )f x是( )g x的( ) (a) 低阶无穷小 (b) 高阶无穷小(c) 等价无穷小 (d) 同阶但不等价的无穷小(2) 若()( )()fxf xx, 在(,0)内( )0fx, 且( )0fx, 则在(0,)内有( ) (a) ( )0fx,( )0fx (b) ( )0fx,( )0fx(c) ( )0fx,( )0fx (d) ( )0fx,( )0fx(3) 设向量组1,2,3线性无关 , 则下列向量组中 , 线性无关的是( ) (a) 12

55、,23,31(b) 12,23,1232(c) 122,2323,313(d) 123,1232322,123355(4) 设,a b为同阶可逆矩阵 , 则( ) (a) abba (b) 存在可逆矩阵p, 使1papb(c) 存在可逆矩阵c, 使tc acb (d) 存在可逆矩阵p 和q, 使paqb(5) 设两个随机变量x 与 y 相互独立且同分布:111,2p xp y1p x112p y, 则下列各式中成立的是( ) (a) 12p xy (b) 1p xy(c) 104p xy (d) 114p xy三、 (本题满分 6 分) 在经济学中 , 称函数1( )(1)xxxq xakl为

56、固定替代弹性生产函数, 而称函数1qak l为 cobb-douglas 生产函数 ( 简称 cd生产函数 ). 试证明:但0 x时, 固定替代弹性生产函数变为cd生产函数 , 即有0lim( )xq xq. 四、 (本题满分 5 分) 设( , , )ufx y z有连续偏导数 ,( )yy x和( )zz x分别由方程0 xyey和0 xexz所确定 , 求dudx. 五、 (本题满分 6 分) 一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px(万元 / 吨),x为销售量 ( 单位:吨), 商品的成本函数31cx( 万元 ). (1) 若每销售一吨商品, 政府要征税t( 万元), 求该商家获最

57、大利润时的销售量;(2) t为何值时 , 政府税收总额最大. 六、 (本题满分 6 分) 设函数( )f x在0,)上连续、单调不减且(0)0f, 试证函数01( ),0,( )0,0,xnt f t dtxf xxx若若在0,)上连续且单调不减( 其中0n). 七、 (本题满分 6 分) 从点1(1,0)p作x轴的垂线 , 交抛物线2yx于点1(1,1)q;再从1q作这条抛物线的切线与x轴交于2p, 然后又从2p作x轴的垂线 , 交抛物线于点2q, 依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;,;nnp q p qp q. (1) 求nop;(2) 求级数1122nnq pq pq p的和

58、 . 其中(1)n n为自然数 , 而12m m表示点1m与2m之间的距离 . 八、 (本题满分 6 分) 设函数f t在0,)上连续 , 且满足方程222242241( )()2txytf tefxydxdy, 求( )f t. 九、 (本题满分 6 分) 设 a 为n阶非奇异矩阵 ,为n维列向量 ,b为常数 . 记分块矩阵0,tteapqaab,其中a是矩阵 a 的伴随矩阵 , e 为n阶单位矩阵 . (1) 计算并化简pq;(2) 证明:矩阵q可逆的充分必要条件是1tab. 十、 (本题满分 10 分) 设三阶实对称矩阵a 的特征值是1,2,3 ;矩阵 a 的属于特征值1,2 的特征向量

59、分别是12( 1, 1,1) ,(1, 2, 1)tt. (1) 求 a 的属于特征值3 的特征向量;(2) 求矩阵 a . 十一、 (本题满分7 分) 假设随机变量x 的绝对值不大于1;111 ,1 84p xp x;在事件11x出现的条件下 , x 在( 1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比 . 试求x的分布函数( )f xp xx. 十二、 (本题满分6 分) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光;电梯于每个整点的第5 分钟、 25 分钟和 55分钟从底层起行 . 假设一游客在早晨八点的第x分钟到达底层候梯处, 且x在0,60上均匀分布 , 求该游客等候时间的数学期望.

60、 十三、 (本题满分6 分) 两台同样自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5 的指数分布;首先开动其中一台 , 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间t 的概率密度( )f t、数学期望和方差. 1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上.) (1) 设曲线( )nf xx在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0)n, 则lim()nnf . (2) 2ln1xdxx . (3) 差分方程121050ttyyt的通解为 . (4) 设矩阵,a b满足*28

61、a babae, 其中100020001a, e 为单位矩阵 ,*a为 a的伴随矩阵 , 则 b . (5) 设1234,xxxx是来自正态总体20,2n的简单随机样本,2122xa xx23434bxx. 则当a ,b时, 统计量 x 服从2分布, 其自由度为 . 二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设周期函数fx在,内可导 , 周期为 4. 又011lim1,2xffxx则曲线yfx在点5,5f处的切线的斜率为( ) (a) 12 (b) 0 (c) 1 (d

62、) 2(2) 设函数21lim,1nnxfxx讨论函数fx的间断点 , 其结论为( ) (a) 不存在间断点 (b) 存在间断点1x(c) 存在间断点0 x (d) 存在间断点1x(3) 齐次线性方程组21231231230,0,0 xxxxxxxxx的系数矩阵记为a . 若存在三阶矩阵0b使得0ab, 则( ) (a) 2且| 0b (b) 2且|0b(c) 1且|0b (d) 1且|0b(4) 设3n n阶矩阵1111aaaaaaaaaaaaa, 若矩阵 a 的秩为1n, 则a必为( ) (a) 1 (b) 11n (c) 1 (d) 11n(5) 设1( )f x与2( )f x分别为随

63、机变量1x与2x的分布函数 . 为使12( )( )f xaf xbfx是某一变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取( ) (a) 32,55ab (b) 22,33ab(c) 13,22ab (d) 13,22ab三、 (本题满分 5 分) 设arctan22()yxzxye, 求dz与2zx y. 四、 (本题满分 5 分) 设22,dx yxyx, 求dxdxdy. 五、 (本题满分 6 分) 设某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在 ( 假定0t) 就售出 , 总收入为0()r 元. 如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为250.trr e假定银行的年利率为r, 并以连续复

64、利计息 , 试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大. 并求0.06r时的t值. 六、 (本题满分 6 分) 设函数( )f x在,a b上连续 , 在( , )a b内可导 , 且( )0.fx试证存在,( , ),a b使得( ).( )bafeeefba七、 (本题满分 6 分) 设有两条抛物线21ynxn和21(1)1ynxn, 记它们交点的横坐标的绝对值为.na(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积ns;(2) 求级数1nnnsa的和. 八、 (本题满分 7 分) 设函数( )f x在1,)上连续 . 若由曲线( ),yf x直线1,(1)xxt t与x轴所围成的平面图形绕x轴旋

65、转一周所形成的旋转体体积为2( )( )(1) .3v tt f tf试求( )yf x所满足的微分方程, 并求该微分方程满足条件229xy的解 . 九、 (本题满分 9 分) 设向量1212(,) ,( ,)ttnna aab bb都是非零向量 , 且满足条件0.t记n矩阵.ta求: (1) 2a;(2) 矩阵 a 的特征值和特征向量. 十、 (本题满分 7 分) 设矩阵101020 ,101a矩阵2() ,bkea其中k为实数 , e 为单位矩阵 . 求对角矩阵, 使 b 与相似 , 并求k为何值时 , b 为正定矩阵 . 十一、 (本题满分10 分) 一商店经销某种商品, 每周进货的数量

66、x与顾客对该种商品的需求量y 是相互独立的随机变量 , 且都服从区间 10,20上的均匀分布 . 商店每售出一单位商品可得利润1000 元;若需求量超过了进货量, 商店可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为 500 元. 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值. 十二、 (本题满分9 分) 设有来自三个地区的各10 名、 15 名和 25 名考生的报名表 , 其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份. 随机地取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ;(2) 已知后抽到的一份是男生表, 求先抽到的一份是女生表的概率q. 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 ( 本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15 分。把正确答案填写在题中横线上。 ) (1) 2011limtanxxxx(2) 20sin()xdxtdtdx(3) 24xyye的通解为 y(4) 设n 阶矩阵a 的元素全为 1,则a 的n个特征值是(5) 设两两相互独立的三事件a, b 和c 满足条件:1,()()(),2abcp ap bp c

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