2021.12.4考研数学—必考的四大证明定理汇总(20211213农历是多少)

四大必考证明定理

一、求导公式的证明

2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比照了解，而对它怎么来的较为陌生。实践上，从授课的视点，这种在2015年前从未考过的根柢公式的证明，一般只会在基础期间讲到。假定这个期间的考生带着急于求成的心态只重视结论怎么用，而不关怀结论怎么来的，那很可以从未细心思考过该公式的证明进程，进而在考场上变得很被逼。这儿给2021考研学子提个醒：要注重基础期间的温习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可以考到，不要放过。

当然，该公式的证明并不难。先思考f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数天然用导数界说查询，可以依照导数界说写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达规则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式刚好是要证的，不能用!)。使用数学上常用的集合之法，加一项，减一项。这个“惹是生非”的项要和前后都有联络，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后思考极限，不可贵出成果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。

类似可思考f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。

二、微分中值定理的证明

这一有些内容比照丰厚，包括费
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马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理需求会证。

费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2. f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。思考函数在一点的导数，用啥办法?天然想到导数界说。咱们可以依照导数界说写出f'(x0)的极限方法。往下如何推理?要害要看第二个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学言语即f(x) -f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域树立。联系导数界说式中函数有些表达式，不难想到思考函数有些的正负号。若能得出函数有些的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。

费马引理中的“引理”包括着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是咱们下面要谈论的罗尔定理。若在微分中值定理这有些推举一个考频最高的，那罗尔定理名副其实。该定理的条件和结论想必各位都比照了解。条件有三：“闭区间接连”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。该定理的证明不好了解，需细心领会：条件怎么用?如何和结论树立联络?等等。

已然咱们谈论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明进程中就要用到费马引理。咱们比照这两个定理的结论，不难发现是共同的：都是函数在一点的导数为0。?档秸猓梢杂型б担郝薅ɡ淼闹っ鞑⒉荒蜒剑煞崖硪淼媒崧劬托辛恕４蠓较蚨裕堂徽饷醇蚵浴Ｗ钌僖登逡坏悖悍崖硪淼奶跫遣皇锹悖堵?

前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判别是树立的，那么“取极值”呢?如同不能由条件直接得到。那么咱们看看哪个条件可以和极值发生联络。留心到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上接连。咱们晓得闭区间上的接连函数有极好的性质，哪条性质和极值有联络呢?不难想到最值定理。那么最值和极值是啥联络?这个点需要想理解，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况谈论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全树立，不可贵出结论;若最值均取在区间端点，留心到已知条件第三条告诉咱们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间就任取一点都能使结论树立。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌控这两个定理的证明有一箭双雕的作用：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那天然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明进程中体现出来的根柢思路，适用于证其它结论。

以拉格朗日定理的证明为例，已然用罗尔定理证，那咱们比照一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。咱们可以思考在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的方法，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的成果。这就是规划辅佐函数的进程——看等号左面的式子是哪个函数求导后，把x换成中值的成果。这个进程有点像违法现场查询：根据这个违法现场，反推嫌疑人是谁。当然，规划辅佐函数远比破案要简略，简略的标题直接调查;凌乱一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。

三、微积分根柢定理的证明

该有些包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间接连，结论可以方法地了解为变上限积分函数的导数为把积分号丢掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。留心该求导公式对闭区间树立，而闭区间上的导数要差异对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。咱们先思考变上限积分函数在开区间就任意点x处的导数。一点的导数仍用导数界说思考。至于导数界说这个极限式如何化简，笔者就不能掠夺读者思考的权力了。单侧导数类似思考。

“牛顿-莱布尼茨公式是联络微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最根柢的公式之一。它证明晰微分与积分是可逆运算，一起有理论上标志着微积分无缺体系的构成，从此微积分变成一门真实的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中无关宏旨的作用。而大都考生能熟练运用该公式核算定积分。不过，提起该公式的证明，了解的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间接连，该公式的另一个条件是f(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件树立，则不难判别变限积分求导定理的条件树立，故变限积分求导定理的结论树立。留心到该公式的另一个条件说到了原函数，那么咱们把变限积分求导定理的结论用原函数的言语描绘一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，咱们晓得同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以f(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数c。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式联系推出的等式变形，不可贵出结论。

四、积分中值定理

该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上接连，结论可以方法地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x换成中值。如何证明?可以有同学想到用微分中值定理，理由是微分有关定理的结论中富含中值。可以依照此思路往下分析，不过更易了解的思路是思考接连有关定理(介值定理和零点存在定理)，理由更充分些：上述两个接连有关定理的结论中不但富含中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是富含中值但不含导数。

若咱们选择了用接连有关定理去证，那么究竟选择哪个定理呢?这儿有个小的技巧——看中值是位于闭区间仍是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值别离位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么路在何方，现已不言自明晰。

若顺畅选中了介值定理，那么往下如何推理呢?咱们可以比照一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数a。咱们天然想到把积分中值定理的结论朝以上的方法变形。等式两端一起除以区间长度，就能抵达咱们的需求。当然，变形后等号一侧富含积分的式子的长相仍是挺有利诱性的，要透过表象看本质，看理解定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就恰当于介值定理结论中的a。

接下来如何推理，这就查询各位对介值定理的了解程度了。该定理条件有二：1.函数在闭区间接连，2.实数a位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到(即a为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件树立否能推出介值定理的条件树立。函数的接连性不难判别，仅需阐明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要查询一个定积分的值的规模，不难想到比照定理(或估值定理)。

定理证清楚属难点，但几乎没有考生勇于不去温习这有些，因为一旦考出来就是大题，且在没温习的情况下当场做出的可以性很小。所以我们掌控好以上收拾的重要定理的证明，是通往高分的必经之路。

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典型习题

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习题

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答案解析

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